Strona główna Konkursu

O Konkursie

Komunikaty

JAK WYGRAĆ

Nagrody i Sponsorzy

Pierwsza rejestracja

Logowanie

Wydział MiNI

MiNIwykłady

Politechnika Warszawska


Jeżeli masz uwagi,
skontaktuj się z nami.

Strona główna Konkursu | O Konkursie | Rejestracja | Nagrody | Sponsorzy | Wydział MiNI | Politechnika Warszawska
Powszechny Internetowy Konkurs
dla Uczniów Szkół Średnich - Matematyka
organizowany przez
Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych
Politechniki Warszawskiej

 
Finał drugiej edycji - 9.06.2001
 
 
 
  1. Wykazać, że liczby postaci
    2. $\displaystyle \sqrt{\underset{n+1}{\underbrace{1\ldots1}}\underset{n}{\underbrace{5\ldots5}%%}6}%%$
    są całkowite dla każdej liczby naturalnej $ n$.
  2. Funkcja $ F\left( x\right) $ spełnia warunki

    3. (i) $ F\left(1\right) =0$;
    (ii) $ F\left( x\right) >0$ dla $ x>1$;
    (iii)$ F^{\prime}\left( x\right) =\frac{1}{x}$ dla $ x\geq1$.
    Wyznaczyć wszystkie wartości parametru rzeczywistego $ a$, dla których nierówność
    $\displaystyle F\left( x\right) >\frac{a\left( x-1\right) }{x+1}%%$
    jest prawdziwa dla każdego $ x>1$.
  3. Narysować zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne $ x$, $ y$ spełniają układ nierówności
    4. \begin{displaymath}\left\{\begin{array}[c]{l}%%0<x<2\pi\0<y<2\pi\\sin x<\sin y\end{array}\right.\end{displaymath}
  4. Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości $ 1$ i kącie ostrym $ 90^{\circ}-3\alpha$. Ściany boczne ostrosłupa nachylone są do płaszczyzny podstawy pod kątem $ 2\alpha$. Obliczyć promień kuli wpisanej w ten ostrosłup. Znaleźć$ \sin\alpha$, dla którego promień kuli wpisanej jest największy.
  5. Wśród cech półfinalistów konkursu matematycznego wyróżniamy następujące cechy:

    6. $ A$ - uczestnicy korzystający z komputera przy rozwiązywaniu zadań,
    $ B$ - uczestnicy mieszkający dalej niż 200 km od Warszawy,
    $ C$ - uczestnicy płci żeńskiej.
    Wśród 300 półfinalistów 60 osób miało tylko cechę $ A$, 195 osób cechę $ B$, 15 osób tylko cechy $ A$ i $ B$, 63 osoby tylko cechy $ B$ i$ C$, 45 osób tylko cechy $ A$ i $ C$ oraz 3 osoby miały cechy $ A$, $ B$, i$ C$. Ile osób miało tylko cechę $ B$?
    Oznaczmy przez $ A$,$ B$, $ C$ zdarzenia polegajace na tym, że uczestnik konkursu ma odpowiednio cechę $ A$, $ B$, $ C$. Wykazać, że zdarzenia $ A$, $ B$, $ C$ są parami zależne.

 

 

Prawa autorskie do zadań są zastrzeżone przez Wydział MiNI Politechniki Warszawskiej.
Konkurs sponsorują: ZIBI


Wszystkie prawa zastrzeżone © 1999-2008 Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej