Strona główna Konkursu

O Konkursie

Komunikaty

JAK WYGRAĆ

Nagrody i Sponsorzy

Pierwsza rejestracja

Logowanie

Wydział MiNI

MiNIwykłady

Politechnika Warszawska


Jeżeli masz uwagi,
skontaktuj się z nami.

Strona główna Konkursu | O Konkursie | Rejestracja | Nagrody | Sponsorzy | Wydział MiNI | Politechnika Warszawska
Powszechny Internetowy Konkurs
dla Uczniów Szkół Średnich - Matematyka
organizowany przez
Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych
Politechniki Warszawskiej

 

KONKURS INTERNETOWY Z MATEMATYKI
Trzecia edycja
Finał - 8.06.2002
Każde z zadań oceniane jest w zakresie od 0 do 20 pkt.
 
 
 
Zad. 1.
Rozwiązać równanie
$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}-1}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\right) x^{\frac{\left(\log_{2}x^{2}\right) ^{2}}{2}-7}=\frac{x^{6}}{2^{11}}\text{.}%%$
Zad. 2.
Dany jest trójkąt $ ABC$ o polu $ S$ i o bokach dł ugości: $ BC=a$, $ AC=b$, $ AB=c$. Niech $ P$ będzie dowolnym punktem leżącym wewnątrz tego trójkąta i niech: $ PA=x$, $ PB=y$,$ PC=z$. Wykazać, że
$\displaystyle ax+by+cz\geq4S$.$\displaystyle %%$
Zad. 3.
Wyznaczyć ekstrema funkcji $ g\left( x\right) =f\left(x\right) \cos^{2}x$ w przedziale $ \left\langle -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}%%{2}\right\rangle $, jeżeli wiadomo, że funkcja różniczkowalna$ f$, której dziedziną jest zbiór $ \mathbb{R}$ wszystkich liczb rzeczywistych, przyjmuje tylko wartości dodatnie oraz $ f^{\prime}\left(x\right) =2f\left( x\right) $ dla każdego $ x\in\mathbb{R}$.
Zad. 4.
Wieża jest osiowo symetryczną bryłą składającą się z dwóch części. Dolna część jest walcem o promieniu podstawy $ \frac{R}{2}$ i wysokości $ 2R$, górna zaś stożkiem o promieniu podstawy $ R$ i wysokości $ R$. Podstawą wieży jest koło o promieniu $ \frac{R}{2}$, a wierzchołek stożka jest najwyższym punktem wieży.

Bierzemy pod uwagę przekrój wieży płaszczyzną prostopadłą do podstawy wieży i zawierającą jej oś symetrii.
Niech$ S\left( x\right) $ oznacza pole tej części przekroju, która zawarta jest między podstawą wieży oraz płaszczyzną równoległą do podstawy i odległą od niej o $ x$. Wyznaczyć$ S\left( x\right) $ i narysować wykres funkcji $ x\longrightarrowy=S\left( x\right) $. Czy ta funkcja jest różniczkowalna?
Zad. 5.
Znaleźć wszystkie liczby pierwsze $ n$, dla których suma
$\displaystyle S_{n}=1!+2!+3!+\ldots+n!$
jest kwadratem liczby naturalnej.

 

 

Prawa autorskie do zadań są zastrzeżone przez Wydział MiNI Politechniki Warszawskiej.
Konkurs sponsorują: ZIBI


Wszystkie prawa zastrzeżone © 1999-2008 Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej