Strona główna Konkursu

O Konkursie

Komunikaty

JAK WYGRAĆ

Nagrody i Sponsorzy

Pierwsza rejestracja

Logowanie

Wydział MiNI

MiNIwykłady

Politechnika Warszawska


Jeżeli masz uwagi,
skontaktuj się z nami.

Strona główna Konkursu | O Konkursie | Rejestracja | Nagrody | Sponsorzy | Wydział MiNI | Politechnika Warszawska
Powszechny Internetowy Konkurs
dla Uczniów Szkół Średnich - Matematyka
organizowany przez
Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych
Politechniki Warszawskiej

 

KONKURS INTERNETOWY Z MATEMATYKI
Ósma edycja
Finał - 28.04.2007
Każde z zadań oceniane jest w zakresie od 0 do 20 pkt.
 
 
 
Zad. 1. Znaleźć $ \cos x$, jeśli wiadomo, że:
$\displaystyle \cos x\cdot\cos2x=\cos72^{\circ}\cdot\cos36^{\circ}$.$\displaystyle %%$
Zad. 2. Trójkąt równoboczny $ ABC$ wpisany jest w okrąg. Punkt $ K$ należy do mniejszego z łuków $ AB$ tego okręgu. Wykazać, że:
$\displaystyle AK+BK=CK$.$\displaystyle %%$
Zad. 3. Obliczyć obwód trójkąta o wierzchołkach $ O\left( 0,0\right) $, $ A\left( \frac{3}{2}x_{0},0\right)$ i $ B$, jeśli $ x_{0}$ jest pierwiastkiem równania
$\displaystyle \left[ 3\left( 3^{\sqrt{x}+2}\right) ^{\frac{1}{\sqrt{x}}}\right]^{\frac{1}{\sqrt{x}-1}}=27$,$\displaystyle %%$
$ B$ zaś punktem paraboli
$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}$,$\displaystyle %%$
którego odległość od punktu $ A$ jest najmniejsza.
Zad. 4. Oddano serię $ n$ strzałów niezależnych od siebie. Prawdopodobieństwa chybienia celu w kolejnych strzałach równe są odpowiednio:
$\displaystyle \frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},\ldots,\frac{1}{\left( n+1\right) ^{2}%%}\text{.}%%$
Wykazać, że prawdopodobieństwo uzyskania serii $ n$ celnych strzałów równe jest
$\displaystyle \frac{n+2}{2\left( n+1\right) }$.$\displaystyle %%$
Zad. 5. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy długości $ a$, przekątna ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą boczną kąt o mierze $ \alpha$. Jaka jest odległość między dwiema prostymi zawierającymi nieprzecinające się przekątne sąsiednich ścian bocznych tego graniastosłupa?

 

Konkurs sponsorują: ZIBI


Wszystkie prawa zastrzeżone © 1999-2008 Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej