Finał 2009 Zadania

Wysłane przez dn w śr., 19/11/2014 - 21:21

<br /> \centerline{POWSZECHNY KONKURS INTERNETOWY dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał X edycji - 25 kwietnia<br /> 2009}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Znaleźć wszystkie pary $(x,y)$ liczb rzeczywistych spełniające układ równań<br /> $$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{7}{\sqrt{xy}}+1 \\ \\ x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}=78 \end{array}\right.$$</p> <p>\item W trójkącie równoramiennym wysokości względem podstawy i ramienia mają długości $12$ cm i odpowiednio $14,4$ cm. Obliczyć stosunek promienia koła wpisanego w ten trójkąt do promienia koła na nim opisanego.</p> <p>\item W talii złożonej z $52$ kart jest po $13$ pików, kierów, kar i trefli. W każdym kolorze jest as, król, dama, walet i karty od dziesiątki do dwójki. W grze w pokera fulem nazywamy układ $5$ kart składający się z trzech kart tego samego typu oraz pary kart tego samego typu, np.: $3$ króle i $2$ asy. Wylosowanie dowolnych $5$ kart z tej talii jest tak samo prawdopodobne. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania fula?</p> <p>\item Wykazać, że liczba<br /> $$3\cdot 7\cdot 11\cdot 29\cdot 40\cdot 299\cdot \sin 10^{\circ}\cdot \cos 160^{\circ}\cdot \sin 130^{\circ}\cdot\left[\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}\left(2+\sqrt{3}\right)+\log_{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\right]$$<br /> jest liczbą naturalną. Ile dzielników będących liczbami naturalnymi ma ta liczba?</p> <p>\item Dany jest czworościan $ABCD$ o krawędziach długości: $|BC|=a$, $|AC|=b$, $|AB|=c$, $|AD|=d$, $|BD|=e$, $|CD|=f$. Punkt $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$.<br /> \\ Dowieść, że<br /> $$|DS|=\frac{1}{3}\sqrt{3d^2+3e^2+3f^2-a^2-b^2-c^2}$$</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />