Finał 2007 Zadania

Wysłane przez dn w śr., 19/11/2014 - 22:14

<br /> \centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał VIII edycji - 28 kwietnia<br /> 2007}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Znaleźć $\cos x$, jeśli wiadomo, że:<br /> $$\cos x\cdot\cos 2x=\cos 72^{\circ}\cdot\cos 36^{\circ}$$</p> <p>\item Trójkąt równoboczny $ABC$ wpisany jest w okrąg. Punkt $ K$ należy do mniejszego z łuków $ AB$ tego okręgu. Wykazać, że:<br /> $$|AK|+|BK|=|CK|$$</p> <p>\item Obliczyć obwód trójkąta o wierzchołkach $ O\left( 0,0\right) $, $ A\left( \frac{3}{2}x_{0},0\right)$ i $ B$, jeśli $ x_{0}$ jest pierwiastkiem równania<br /> $$\displaystyle \left[ 3\left( 3^{\sqrt{x}+2}\right) ^{\frac{1}{\sqrt{x}}}\right]^{\frac{1}{\sqrt{x}-1}}=27$$<br /> $B$ zaś punktem paraboli<br /> $$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}$$<br /> którego odległość od punktu $ A$ jest najmniejsza.</p> <p>\item Oddano serię $ n$ strzałów niezależnych od siebie. Prawdopodobieństwa chybienia celu w kolejnych strzałach równe są odpowiednio:<br /> $$\displaystyle \frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},\ldots,\frac{1}{\left( n+1\right) ^{2}}.$$<br /> Wykazać, że prawdopodobieństwo uzyskania serii $ n$ celnych strzałów równe jest<br /> $$\displaystyle \frac{n+2}{2\left( n+1\right) }.$$</p> <p>\item W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy długości $ a$, przekątna ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą boczną kąt o mierze $ \alpha$. Jaka jest odległość między dwiema prostymi zawierającymi nieprzecinające się przekątne sąsiednich ścian bocznych tego graniastosłupa?</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />