Finał 2003 Zadania

Wysłane przez dn w śr., 19/11/2014 - 22:30

<br /> \centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał IV edycji - 14 czerwca 2003}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Niech $ A$ będzie zbiorem rozwiązań na przedziale $ \left\langle 0;2\pi\right\rangle $ równania<br /> $$\displaystyle \cos x-\sin x+\sin2x=1$$<br /> i odpowiednio $ B$ zbiorem rozwiązań na przedziale $ \left\langle 0;2\pi\right\rangle $ równania<br /> $$\operatorname*{tg}x-\operatorname*{tg}\left( x-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.$$<br /> Znaleźć iloczyn $ A\cap B$ i sumę $ A\cup B$.</p> <p>\item Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Punkty D, E, F są odpowiednio środkami boków AB, BC, AC, zaś punkt G jest spodkiem wysokości trójkąta opuszczonej z wierzchołka C. Wykaż, że punkty D, E, F, G leżą na okręgu.</p> <p>\item Funkcja $ l\left( m\right) $ przyporządkowuje argumentowi rzeczywistemu $ m$ liczbę rozwiązań równania$ \left[ f\left( x\right) \right] ^{2}=m$, gdzie<br /> $$\displaystyle f\left( x\right) =\sqrt{x^{3}-12x+16}.$$<br /> Funkcja $ h\left( m\right) $ określona jest wzorem<br /> $$\displaystyle h\left( m\right) =l\left( m\right) \sin\left( \frac{\pi}{8}m\right).$$<br /> Zbadać ciągłość i różniczkowalność oraz wyznaczyć ekstrema funkcji $ h\left( m\right) $. Narysować wykres tej funkcji.</p> <p>\item Obliczyć granicę ciągu $ \left(a_{n}\right) $, gdzie<br /> $$\displaystyle a_{n}=n\cos\left( \pi n\right) \cos\left( \pi\sqrt{n^{2}+1}\right)\sin\frac{1}{n}.$$</p> <p>\item W urnie jest n kul białych i o dwie więcej kul czarnych. Losujemy dwukrotnie ze zwracaniem po jednej kuli. Dla jakiego n ze zbioru $\{0,1,...,100\}$ prawdopodobieństwo zdarzenia: wylosowano dwie kule jednego koloru, jest najmniejsze?</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />