Finał 2002 Zadania

Wysłane przez dn w śr., 19/11/2014 - 22:33

<br /> \centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał III edycji - 8 czerwca 2002}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Rozwiązać równanie<br /> $$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}-1}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\right) x^{\frac{\left(\log_{2}x^{2}\right) ^{2}}{2}-7}=\frac{x^{6}}{2^{11}}\text{.}$$</p> <p>\item Dany jest trójkąt $ ABC$ o polu $ S$ i o bokach dł ugości: $ BC=a$, $ AC=b$, $ AB=c$. Niech $ P$ będzie dowolnym punktem leżącym wewnątrz tego trójkąta i niech: $ PA=x$, $ PB=y$,$ PC=z$. \\ Wykazać, że<br /> $$\displaystyle ax+by+cz\geq4S.$$</p> <p>\item Wyznaczyć ekstrema funkcji $ g\left( x\right) =f\left(x\right) \cos^{2}x$ w przedziale $\displaystyle \left\langle -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right\rangle $, jeżeli wiadomo, że funkcja różniczkowalna$ f$, której dziedziną jest zbiór $ \mathbb{R}$ wszystkich liczb rzeczywistych, przyjmuje tylko wartości dodatnie oraz $ f^{\prime}\left(x\right) =2f\left( x\right) $ dla każdego $ x\in\mathbb{R}$.</p> <p>\item Wieża jest osiowo symetryczną bryłą składającą się z dwóch części. Dolna część jest walcem o promieniu podstawy $ \displaystyle \frac{R}{2}$ i wysokości $ 2R$, górna zaś stożkiem o promieniu podstawy $ R$ i wysokości $ R$. Podstawą wieży jest koło o promieniu $ \displaystyle\frac{R}{2}$, a wierzchołek stożka jest najwyższym punktem wieży.<br /> \\ \\<br /> Bierzemy pod uwagę przekrój wieży płaszczyzną prostopadłą do podstawy wieży i zawierającą jej oś symetrii. \\<br /> Niech $S\left( x\right) $ oznacza pole tej części przekroju, która zawarta jest między podstawą wieży oraz płaszczyzną równoległą do podstawy i odległą od niej o $ x$. Wyznaczyć $ S\left( x\right) $ i narysować wykres funkcji $ x\longrightarrowy=S\left( x\right) $. Czy ta funkcja jest różniczkowalna?</p> <p>\item Znaleźć wszystkie liczby pierwsze $ n$, dla których suma<br /> $$\displaystyle S_{n}=1!+2!+3!+\ldots+n!$$<br /> jest kwadratem liczby naturalnej.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />