Finał 2001 Zadania

Wysłane przez dn w śr., 19/11/2014 - 22:38

<br /> \centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał II edycji - 9 czerwca 2001}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Wykazać, że liczby postaci<br /> $$\sqrt{\underbrace{1\ldots 1}_{n+1}\underbrace{5\ldots 5}_{n}6}$$<br /> są całkowite dla każdej liczby naturalnej $ n$.</p> <p>\item Funkcja $ F\left( x\right) $ spełnia warunki<br /> \\ \\<br /> (i) $ F\left(1\right) =0$; \\<br /> (ii) $ F\left( x\right) >0$ dla $ x>1$; \\<br /> (iii)$ F^{\prime}\left( x\right) =\frac{1}{x}$ dla $ x\geq1$. \\ \\<br /> Wyznaczyć wszystkie wartości parametru rzeczywistego $ a$, dla których nierówność<br /> $$\displaystyle F\left( x\right) >\frac{a\left( x-1\right) }{x+1}$$<br /> jest prawdziwa dla każdego $ x>1$.</p> <p>\item Narysować zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne $ x$, $ y$ spełniają układ nierówności<br /> $$\left\{\begin{array}{l} 0<x<2\pi \\ 0<y<2\pi \\ \sin x<\sin y\end{array}\right.$$</p> <p>\item Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości $ 1$ i kącie ostrym $ 90^{\circ}-3\alpha$. Ściany boczne ostrosłupa nachylone są do płaszczyzny podstawy pod kątem $ 2\alpha$. Obliczyć promień kuli wpisanej w ten ostrosłup. Znaleźć$ \sin\alpha$, dla którego promień kuli wpisanej jest największy.</p> <p>\item Wśród cech półfinalistów konkursu matematycznego wyróżniamy następujące cechy:<br /> \\ \\<br /> $ A$ - uczestnicy korzystający z komputera przy rozwiązywaniu zadań, \\<br /> $ B$ - uczestnicy mieszkający dalej niż 200 km od Warszawy, \\<br /> $ C$ - uczestnicy płci żeńskiej. \\ \\<br /> Wśród 300 półfinalistów 60 osób miało tylko cechę $ A$, 195 osób cechę $ B$, 15 osób tylko cechy $ A$ i $ B$, 63 osoby tylko cechy $ B$ i$ C$, 45 osób tylko cechy $ A$ i $ C$ oraz 3 osoby miały cechy $ A$, $ B$, i$ C$. Ile osób miało tylko cechę $ B$? \\<br /> Oznaczmy przez $ A$,$ B$, $ C$ zdarzenia polegajace na tym, że uczestnik konkursu ma odpowiednio cechę $ A$, $ B$, $ C$. Wykazać, że zdarzenia $ A$, $ B$, $ C$ są parami zależne.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />