Finał 2000 Zadania

Wysłane przez dn w śr., 19/11/2014 - 22:44

<br /> \centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał I edycji - 10 czerwca 2000}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Zbiór $M$ jest zbiorem tych wartości całkowitych parametru $m$ mniejszych od $2\pi$, dla których równanie<br /> $$(2m-2)x^4-2(2m+3)x^2+(2m+1)=0$$<br /> ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana liczba ze zbioru $M$ spełnia nierówność<br /> $$\log_{\frac{2}{9}x}\left(2-\frac{1}{3}x\right)<0$$</p> <p>\item Rozwiązać równanie<br /> $$\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\cos x}=2\sqrt{2}$$<br /> w przedziale $\left<-2\pi,2\pi\right>$.</p> <p>\item Dane sa wierzchołki trójkąta $ABC:$ $A=(2,1)$, $B=(3,-2)$. Wyznaczyć współrzędne trzeciego wierzchołka wiedząc, że środek ciężkości trójkąta leżyna osi $OX$, a pole tego trójkąta jest równe $3$.</p> <p>\item Znaleźć punkt $A$ należący do paraboli $y^2=4(x-1)$ oraz punkt $B$ należący do prostej $2x-y+2=0$, aby odległość między nimi była najmniejsza. Obliczyć tę najmniejszą odległość i wykonać odpowiedni rysunek.</p> <p>\item W stożek o promieniu podstawy $r$ i wysokości $h$ wpisano kulę. Następnie wpisano drugą kulę styczną zewnętrznie do kuli poprzedniej oraz do powierzchni bocznej stożka, następnie trzecią i tak dalej. Obliczyć sumę objętości wszystkich wpisanych kul.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />