Finał 2016 Zadania

Wysłane przez dn w ndz., 17/04/2016 - 09:26

\centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich - Matematyka} \centerline{Finał XVII edycji - 16 kwietnia<br /> 2016}</p> <p>\vspace{1cm}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Wykazać, że równanie $x^5+x=10$ ma dokładnie jeden dodatni pierwiastek i jest on liczbą<br /> niewymierną.</p> <p>\item Ściany sześcianu wykonanego z białego materiału pomalowano \linebreak[4] na czerwono.<br /> Sześcian ten podzielono $3n$ płaszczyznami równoległymi \linebreak[4] do ścian na mniejsze przystające sześciany. Z powstałych \linebreak[4] $(n+1)^3$ sześcianów losujemy jeden. Niech $p_k$ oznacza prawdopodobieństwo tego, że ma on dokładnie $k$<br /> ścian czerwonych. Wyznaczyć wzór ogólny na $p_k$.</p> <p>\item Dany jest czworościan $ABCD$. Udowodnić, że jeżeli dwusieczna<br /> kąta $ADB$ jest prostopadła do dwusiecznej kąta $BDC$, to jest ona<br /> również prostopadła do dwusiecznej kąta $ADC$.</p> <p>\item Rozwiązać równanie:<br /> \[ 8 \cdot \cos(x) \cdot<br /> (\cos^4(2x)-\sin^4(2x))=\frac{1+\tg^2(x)}{1-\tg^2(x)} . \]</p> <p>\item<br /> Pewien wielokąt wypukły $W$ zawarty jest w kwadracie o boku \linebreak[4] długości<br /> $1$. Udowodnić, że suma kwadratów długości wszystkich \linebreak[4] boków wielokąta $W$ jest<br /> nie większa niż 4.</p> <p>\end{enumerate}</p> <p>\centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />