Finał 2021 Zadania

Wysłane przez dn w czw., 09/06/2022 - 05:37

<br /> \centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich -- Matematyka} \centerline{Finał XXII edycji -- 12 czerwca<br /> 2021 r.}</p> <p>\vspace{-0.25cm}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item W urnie $\mathcal{U}$ znajduje się dokładnie $100$ kul i każda kula jest pomalowana na dokładnie jeden z czterech kolorów. Jeśli wylosujemy bez zwracania dowolne $80$ kul z urny $\mathcal{U}$, to na pewno wśród wylosowanych kul znajdą się kule we wszystkich czterech kolorach. Podaj najmniejszą liczbę kul, które należy wylosować bez zwracania z~urny $\mathcal{U}$, aby mieć pewność, że wśród wylosowanych kul będą kule w~co~najmniej trzech różnych kolorach.</p> <p>\item Dany jest podzbiór $\mathcal{X}$ zbioru liczb rzeczywistych, który zawiera co najmniej trzy elementy. Każde dwa różne elementy $a$, $b$ zbioru $\mathcal{X}$ mają tę własność, że liczba $a^2+b\sqrt{3}$ jest liczbą wymierną. Udowodnij, że dla każdego elementu $x$ zbioru $\mathcal{X}$ liczba $x\sqrt{3}$ jest wymierna.</p> <p>\item W finale XXII edycji pewnego konkursu laureatami zostało dokładnie $10$ osób (zakładamy, że każde dwie osoby są między sobą rozróżnialne). Podczas wręczenia nagród, w sposób losowy umieszczono dokładnie $50$ cukierków w torbach z nagrodami dla poszczególnych laureatów w~taki sposób, aby w każdej torbie znalazł się co najmniej jeden cukierek (torby są podpisane oraz przyjmujemy, że cukierki są między sobą nierozróżnialne). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że ustalona trójka laureatów dostała w sumie dokładnie $25$ cukierków.</p> <p>\item Dany jest trapez $ABCD$ w którym $AB\| CD$, $|AB|=|BC|$ oraz miary kątów $\angle ABD$, $\angle DBC$, $\angle ADB$ są odpowiednio w stosunku \linebreak $3:1:5$. Wyznacz kąty tego trapezu.</p> <p>\item Na bokach trójkąta rozwartokątnego, jako na średnicach, zbudowano trzy okręgi i do każdego z tych okręgów poprowadzono dwie proste styczne przechodzące przez ortocentrum tego trójkąta. Udowodnij, że sześć punktów styczności leży na jednym okręgu.</p> <p>\textit{Ortocentrum} trójkąta to punkt przecięcia się prostych zawierających wysokości tego trójkąta.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />