Finał 2023 Zadania

Wysłane przez dn w wt., 18/04/2023 - 08:54

<br /> \centerline{POWSZECHNY INTERNETOWY KONKURS dla uczniów szkół<br /> średnich -- Matematyka} \centerline{Finał XXIV edycji -- 14 kwietnia<br /> 2023 r.}</p> <p>\vspace{-0.25cm}</p> <p>\begin{enumerate}</p> <p>\item Z punktu $C$ należącego do prostej o równaniu $y=2$ poprowadzono dwie proste, które są styczne w różnych punktach $A$ i $B$ do wykresu funkcji danej wzorem $f(x)=-0{,}25x^2+x$, gdzie $x\in\mathbb{R}$. Uzasadnij, że proste $AC$ i $BC$ są prostopadłe.</p> <p>\item Dla jakich wartości parametru $m$, gdzie $m\in\mathbb{R}$, miejscami zerowymi funkcji danej wzorem<br /> $$f(x)=\cos 2x-\left(2|m|-3\right)\sin x+m-2, \text{ gdzie } x\in\mathbb{R},$$<br /> są tylko liczby postaci $\frac{\pi}{6}+2k\pi$ oraz $\frac{5\pi}{6}+2k\pi$, gdzie $k\in\mathbb{Z}.$</p> <p>\item Wiedząc, że $x^2+y^2+4z^2=6$, gdzie $x,y,z\in\mathbb{R}$, wyznacz największą możliwą wartość sumy $x+y+2z$.</p> <p>\item Dany jest ciąg $(a_n)$, którego iloczyn $n$ początkowych wyrazów dany jest wzorem $P_n={2n\choose n}\cdot n!$, gdzie $n\in\mathbb{Z}_+$. Udowodnij, że ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym. </p> <p>Ze zbioru $\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{2023}\}$<br /> wybieramy losowo jednocześnie sześć elementów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrane elementy (w jakiejkolwiek kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny.</p> <p>\item Udowodnij, że istnieje taki przekrój sześcianu płaszczyzną, który jest sześciokątem foremnym. Udowodnij ponadto, że jeśli istnieje taki przekrój prostopadłościanu płaszczyzną, który jest sześciokątem foremnym, to ten prostopadłościan jest sześcianem.</p> <p>\end{enumerate}<br /> \centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br /> maksymalnie 20 punktów}<br />