Finał 2014 Zadania

<br />
\centerline{POWSZECHNY KONKURS INTERNETOWY dla uczniów szkół<br />
średnich - Matematyka} \centerline{Finał XV edycji - 12 kwietnia<br />
2014}</p>
<p>\begin{enumerate}</p>
<p>\item Wykazać, że każda liczba naturalna $n$ spełnia następującą  nierówność<br />
\[ \frac{1 \cdot 2 - 1}{2!} + \frac{2 \cdot 3 -1}{3!} + \frac {3<br />
\cdot 4 -1}{4!} + \ldots + \frac{n \cdot (n+1)-1}{(n+1)!}< 2 -<br />
\frac{2}{(n+1)!}\]</p>
<p>\item Rozwiązać równanie<br />
\[<br />
\sin^4\frac{\pi}{8}+\sin^4\frac{3\pi}{8}+\sin^4\frac{5\pi}{8}+\sin^4\frac{7\pi}{8}=(\sin<br />
x+\cos x)^2<br />
\]</p>
<p>\item Kawałek drutu o długości 22 cm zgięto pod kątem prostym \linebreak  w<br />
losowo wybranym punkcie. Następnie zgięto drut w dwóch \linebreak<br />
punktach, tak aby utworzyła się ramka   w kształcie prostokąta<br />
\linebreak o obwodzie 22 cm.<br />
 Jakie jest prawdopodobieństwo, ze pole obszaru<br />
ograniczonego ramką nie przekracza 24 cm$^2$?</p>
<p>\item Dany jest czworokąt $ABCD$ wpisany w okrąg. Dwusieczne kątów<br />
\linebreak tego czworokąta przecinają okrąg w punktach $E$, $F$,<br />
$G$, $H$. \linebreak Udowodnić, że suma kwadratów odległości<br />
dowolnego punktu $P$ \linebreak z tego okręgu  od punktów $E$, $F$,<br />
$G$, $H$ jest stała, tzn. nie zależy \linebreak od wyboru tego<br />
punktu na okręgu.</p>
<p>\item Niech $n$ będzie liczbą naturalną. Ze zbioru $M=\{1,2, \ldots,<br />
3n\}$ \linebreak  wybieramy w losowy sposób jego podzbiór $X$.<br />
 Rozważmy \linebreak<br />
następujące zdarzenia:\\<br />
$A$ - wylosowany zbiór $X$ nie zawiera żadnej pary liczb naturalnych<br />
$x$, $y$, \linebreak dla których $n$ jest dzielnikiem liczby $|y-x|$, \\<br />
$B$ - wylosowany zbiór $X$  jest taki, że z jego elementów mozna<br />
utworzyć dokładnie trzy,  niekoniecznie rozłączne, pary liczb<br />
naturalnych $x$, $y$, \linebreak dla których $n$ jest dzielnikiem<br />
liczby $|y-x|$.\\<br />
Znaleźć najmniejszą liczność zbioru $M$, dla której spełniona jest<br />
\linebreak następująca nierówność<br />
\[2^6\cdot P(B) > 43 \cdot n \cdot P(A). \]</p>
<p>\end{enumerate}<br />
\centerline{\bf Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać<br />
maksymalnie 20 punktów}<br />